Question

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线与直径CD的延长线交于点E，已知AE=AC．
（1）求∠B的度数；
（2）若ED=1，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得出OA⊥AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠E=∠ACE=∠OAC=30°，得出∠AOC=120°，从而求得$\widehat{ABC}$的度数为120°，$\widehat{ADC}$的度数为240°，即可求得∠B=120°；
（2）根据30°的直角三角形的性质得出OE=2OA=2OD，得出OD=ED=1，得出EO=2，根据勾股定理即可求得AE．

解答 解：（1）连接OA，
∵AE是⊙O的切线，
∴OA⊥AE，
∵AE=AC，OA=OC，
∴∠E=∠ACE=∠OAC，
∵∠BAC+∠E+∠ACE=180°，
∴90°+3∠E=180°，
∴∠E=∠ACE=∠OAC=30°，
∴∠AOC=90°+30°=120°，
∴$\widehat{ABC}$的度数为120°，$\widehat{ADC}$的度数为240°，
∴∠B=120°；
（2）∵在直角三角形OAE中，∠E=30°，
∴OE=2OA，
∵OA=OD，
∴OA=OD=OE=1，
∴OE=2，
∴AE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，30°的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．