Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，-2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax²+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；
（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知A（0，-1），C（-2，0），D（2，0），从而可求得抛物线的解析式；
（2）根据OE=2可知点E的坐标为（0，2）或（0，-2），从而可确定出点P的纵坐标为1或-1；
（3）设点P的坐标为（m，$\frac{1}{4}{m}^{2}-1$），然后求得圆P的半径OP和点P到直线l的距离，根据d=r，可知直线和圆相切．

解答 解：（1）∵点A为OB的中点，
∴点A的坐标为（0，-1）．
∵CD=4，由抛物线的对称性可知：点C（-2，0），D（2，0），
将点A（0，-1），C（-2，0），D（2，0）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{4a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{a=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线得解析式为y=$\frac{1}{4}{x}^{2}-1$．
（2）如下图：过点P₁作P₁F⊥OE．

∵OE=2，
∴点E的坐标为（0，2）．
∵P₁F⊥OE．
∴EF=OF．
∴点P₁的纵坐标为1．
同理点P₂的纵坐标为1．
将y=1代入抛物线的解析式得：x₁=$-2\sqrt{2}$，x₂=2$\sqrt{2}$．
∴点P₁（-2$\sqrt{2}$，1），P₂（2$\sqrt{2}$，1）．
如下图：

当点E与点B重合时，点P₃与点A重合，
∴点P₃的坐标为（0，-1）．
综上所述点P的坐标为（-2$\sqrt{2}$，1）或（2$\sqrt{2}$，1）或（0，-1）．
（3）设点P的坐标为（m，$\frac{1}{4}{m}^{2}-1$），
∴圆的半径OP=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{4}+1$，
点P到直线l的距离=$\frac{1}{4}{m}^{2}-1$-（-2）=$\frac{{m}^{2}}{4}$+1．
∴d=r．
∴直线l与圆P相切．

点评 本题主要考查的是二次函数与圆的综合应用，根据题意确定出点E的坐标，然后再得出点P的纵坐标是解题的关键．