Question

11．如图，有一块塑料矩形模板ABCD，AB=5cm，AD=2cm，将足够大的直角三角形PHF的直角顶点P落在CD边上（不与C、D重合），在CD上适当移动三角板顶点P，使直角边PH始终通过点A，另一直角边PF与CB的延长线交于点Q，与AB交于点M．若BM=1cm，则DP=2 cm．

Answer 1

分析 根据矩形的性质，判定△BAP∽△BMQ，△ADP∽△PCQ，得出比例式，即可求解．

解答 解：设DP=xcm，BQ=ycm．
∵四边形ABCD是矩形，∠HPF=90°，
∴△DAP∽△BMQ，△ADP∽△PCQ，
∴DP：BQ=AD：BM，DP：CQ=AD：PC，
∴DP•BM=AD•BQ，DP•PC=AD•CQ，
∴x=2y，即y=$\frac{x}{2}$，
∴x（5-x）=2（2+$\frac{x}{2}$），
解得：x₁=x₂=2，
即DP=2cm．
故答案为：2．

点评 本题考查对一元二次方程的应用，而且还得知道矩形的性质，知道相似三角形的性质，可以正确判定相似三角形，解决本题的关键是运用相似三角形的判定定理和性质定理．