Question

6．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，tan∠FCB=2，则FG=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先连接CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，进而证明△HEM≌△HCN，得到四边形MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的长度．

解答 解：连接CG．
在△CGD与△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠EBC=∠GDC=90°}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△CGD≌△CEB（SAS），
∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，
∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形．
又∵CH⊥GE，
∴CH=EH=GH．
过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN=90°，
又∵∠EHC=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠HEM=∠HCN．
在△HEM与△HCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{EH=CH}\\{∠HEM=∠HCN}\end{array}\right.$，
∴△HEM≌△HCN（ASA）．
∴HM=HN，
∴四边形MBNH为正方形．
∵BH=8，
∴BN=HN=4$\sqrt{2}$，
∵tan∠FCB=$\frac{HN}{CN}$=2，
∴CN=2$\sqrt{2}$．
在Rt△HCN中，CH=$\sqrt{H{N}^{2}+C{N}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∴GH=CH=2$\sqrt{10}$．
∵HM∥AG，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3．
又∵∠HNC=∠GHF=90°，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH．
∴$\frac{CH}{FG}=\frac{HN}{GH}$，即$\frac{2\sqrt{10}}{FG}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}$，
∴FG=5$\sqrt{2}$．
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．