Question

16．可能用到的下列运算关系式：
（1）（a+b）（a-b）=a²-b²
（2）${a^{-p}}=\frac{1}{a^p}$
（3）（a^m）ⁿ=a^mn
已知：f（x）=2^x+2^-x，g（x）=2^x-2^-x，例如：当x=3时，$f（3）={2^3}+{2^{-3}}=8\frac{1}{8}$
（1）设F（x）=f（x）×g（x），则F（2）=15$\frac{15}{16}$；
（2）试证明对任意的x值都有：F（x）+F（-x）=0．

Answer 1

分析 （1）根据已知的运算法则和幂的乘方及平方差公式运算即可；  
（2）利用（1）中的F（x）=f（x）×g（x），f（x）=2^x+2^-x，g（x）=2^x-2^-x 证明即可．

解答 （1）解：∵f（x）=2^x+2^-x，g（x）=2^x-2^-x，F（x）=f（x）×g（x），
∴F（2）=f（2）×g（2）=（2²+2^-2）×（2²-2^-2）=（2²）²-（2^-2）²=16-$\frac{1}{16}$=15$\frac{15}{16}$．
故答案为：15$\frac{15}{16}$；

（2）证明：∵f（x）=2^x+2^-x，g（x）=2^x-2^-x，
∴F（x）=f（x）×g（x）=（2^x+2^-x）（2^x-2^-x）=2^2x-2^-2x，F（-x）=f_（-x）×g_（-x）=（2^-x+2^x）（2^-x-2^x）=2^-2x-2^2x，
∴F（x）+F（-x）=（2^2x-2^-2x）+（2^-2x-2^2x）=0．

点评 本题主要考查了平方差公式，幂的运算法则及新定义运算，根据已知理解新定义运算是解答此题的关键．