Question

19．如图，△ABC中，AB=AC，△ABC∽△AED，且D是BC边上任意一点（不与点C重合），作EF∥BC交AB于点F．求证：四边形CDEF是平行四边形．

Answer 1

分析 连接BE，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠EAB，AD=AE，由SAS证明△ACD≌△ABE，得出DC=EB，∠1=∠4，由等腰三角形和平行线的性质得出∠1=∠2，∠2=∠3，得出∠3=∠4，证出EB=EF，因此EF∥DC，EF=DC，即可得出结论．

解答 证明：连接BE，如图所示：
∵AB=AC，△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}$，
∴∠DAC=∠EAB，AD=AE，
在△ACD和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}&{\;}\\{∠DAC=∠EAB}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴DC=EB，∠1=∠4，
∵AB=AC，EF∥BC，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
∴EB=EF，
∴EF∥DC，EF=DC，
∴四边形CDEF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定、相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的突破口．