Question

9．已知等腰三角形ABC和DBE的底角共顶点，AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE，以线段AD和AC为邻边作?ACFD，连接CE．
（1）如图1，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC=∠BDE=60°，则∠ECF=60°．
（2）如图2，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC=∠BDE=90°，则∠ECF=45°．
请你完成（1）、（2）两个命题，并从中任选一个进行证明．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到△ABC与△BDE是等边三角形，推出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠BCE，由四边形ADFC是平行四边形，得到AD∥CF，根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCF，由外角的性质得到∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠DCF=∠BCE+∠ECF，即可得到结论．
（2）由已知条件得到△ABC与△BDE是等腰直角三角形，求得AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，∠ABC=∠DBE=45°，推出△ABD∽△BCE，根据相似三角形的性质得到∠ADC=∠DCF，由外角的性质得到∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠DCF=∠BCE+∠ECF，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=60°，
∴△ABC与△BDE是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°，
在△ABD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠DBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠ADC=∠DCF，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠DCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
故答案为：60°；

（2）∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=90°，
∴△ABC与△BDE是等腰直角三角形，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，∠ABC=∠DBE=45°，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BD}$，
∴△ABD∽△BCE，
∴∠ADC=∠DCF，
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠ADC=∠DCF，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠DCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ECF=∠ABC=45°，
故答案为：45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．