Question

7．如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，∠BFC=90°，求$\frac{AB}{AE}$的值．

Answer 1

分析 延长EF交CB于M，连接CM，根据正方形的性质得到AD=DC，∠A=∠BCD=90°，由折叠的性质得到∠DFE=∠DFM=90°，通过Rt△DFM≌Rt△DCM，于是得到MF=MC．由等腰三角形的性质得到∠MFC=∠MCF由余角的性质得到∠MFC=∠MBF，于是求得MF=MB，设MF=MB=MC=a，AE=EF=x，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：如图，

延长EF交CB于M，连接CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿直线DE对折得到△DEF，
∴∠DFE=∠DFM=90°，
在Rt△DFM与Rt△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DC}\\{DM=DM}\end{array}\right.$，
∴Rt△DFM≌Rt△DCM，
∴MF=MC，
∴∠MFC=∠MCF，
∵∠MFC+∠BFM=90°，∠MCF+∠FBM=90°，
∴∠MFB=∠MBF，
∴MB=MC，
设MF=MC=BM=a，AE=EF=x，
∵BE²+BM²=EM²，
即（2a-x）²+a²=（x+a）²，
解得：x=$\frac{2}{3}$a，
∴AE=$\frac{2}{3}$a，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{2a}{\frac{2}{3}a}$=3．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．