Question

【题目】如图1，平面直角坐标系中，，，，轴于点．

（1）；

（2）连接，判断的形状，并说明理由；

（3）如图2，已知，，若是等腰直角三角形，且，则点坐标为 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）为等腰直角三角形，见解析；（3）或

【解析】

（1）根据点的坐标分别求出OD、CD，得到AD=OB，利用SAS定理证明△AOB≌△CDA；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ABO=∠CAD，AC=AB，根据同角的余角相等得到∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的定义解答；

（3）根据题意画出点M和点M′，过点P作x轴的平行线GH，作MG⊥GH于G，QH⊥GH于H，证明△GMP≌△HPQ，根据全等三角形的性质得到GM=PH=3，GP=HQ=2，得到点M坐标为（1，1），同理求出点M′坐标．

（1）∵C（2，3），轴于点，

∴D（0，3）

∴OD=3，CD=2，

∵A（0，2），B（1，0），

∴OA=2，OB=1，

∴AD=1，

∴AD=OB，

在△AOB和△CDA中，

，

∴△AOB≌△CDA（SAS）；

（2）△ABC是等腰直角三角形，

理由如下：∵△AOB≌△CDA，

∴∠ABO=∠CAD，AC=AB，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CAD+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°，又AC=AB，

∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）如图2，过点P作x轴的平行线GH，作MG⊥GH于G，QH⊥GH于H，

∵P（3，4），Q（6，2），

∴PH=3，QH=2，

∵△MPQ为等腰直角三角形，

∴∠MPQ=90°，PM=PQ，

∴∠MPG+∠HPQ=90°，

∵∠MPG+∠PMG=90°，

∴∠GMP=∠HPQ，

在△GMP和△HPQ中，

，

∴△GMP≌△HPQ（AAS）

∴GM=PH=3，GP=HQ=2，

∴点M坐标为（1，1），

过点P作y轴的平行线ST，作M′S⊥ST于S，QT⊥ST于T，

同理可得，△M′ST≌△PTQ，

∴M′S=PT=2，SP=TQ=3，

∴点M′坐标为（5，7），

故答案为：（1，1）或（5，7）．