Question

5．如图，在正方形ABCD中，点E在射线BD上，以AE为一边在AE右侧作正方形AEFG．
（1）当点E在线段BD上运动时，若∠BAE=α，则∠DAG=α，此时，请猜想GD与BD的位置关系，并说明理由；
（2）当点E在线段BD的延长线上运动时，（1）中的猜想是否还成立？请说明理由；
（3）若正方形AEFG的边长为5，且DE=1，记正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$a，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD和AEFG都是正方形，得出AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，即∠DAG=∠BAE，得出△ABE≌△ADG，得出∠ADG=ABE，=45°即可；
（2）同（1）方法；
（3）分点E在线段BD和BD延长线上，利用勾股定理先求出DG，而△ABE≌△ADG，得出BE，可以求出正方形ABCD的对角线，即可．

解答 解：（1）如图1，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAE=α，
∴∠DAG=∠BAE=α
在△ABE和△ADG中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG，
∴∠ADG=∠ABE，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠ADG=45°，
∴∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°，
∴GD⊥BD；
故答案为α；
（2）如图2，

（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
在△ABE和△ADG中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG，
∴∠ADG=∠ABE，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠ADG=45°，
∴∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°，
∴GD⊥BD；
（3）①如图1，当点E在线段BD上时，
∵正方形AEFG的边长为5，
∴EG=5$\sqrt{2}$
由（1）有∠BDG=90°，
在Rt△EDG中，DE=1，EG=5$\sqrt{2}$，
根据勾股定理得，DG=$\sqrt{E{G}^{2}-D{E}^{2}}$=7，
由（1）有△ABE≌△ADG，
∴BE=DG=7，
∴BD=BE+DE=7+1=8，
∴正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$a=4$\sqrt{2}$，
∴a=4，
②如图2，当点E在BD延长线时，同①方法得，BE=7，
∴BD=BE-DE=7-1=6，
∴正方形ABCD的边长$\sqrt{2}$a=3$\sqrt{2}$，
∴a=3，
故a的值为3或4．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是△ABE≌△ADG，难点是分情况求出正方形ABCD的边长，易丢一种情况．