Question

【题目】如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P从点A开沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B运动（当P，Q两点其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动）如果点P，Q从点A同时出发，设运动时间为t秒．

（1）如果点Q的速度为每秒个单位长度，那么当t＝5时，求证：△APQ∽△ABO；

（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么多少秒时，△APQ的面积为16？

（3）若点H为平面内任意一点，当t＝4时，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出此时点H的坐标．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2秒时，△APQ的面积为16；（3）点H的坐标为：（，6），（﹣，4）．

【解析】

（1）根据已知得：直线与x、y轴的交点B（8，0）、A（0，6），AP＝5，AQ＝3，对应边成比例且夹角相等即可证明；

（2）作QE⊥y轴于点E，用含t的式子表示AP和QE，利用三角形的面积即可求解；

（3）根据题意画出矩形即可写出点H的坐标．

（1）根据题意，得

当t＝5时，AP＝5，AQ＝3，

∴B（8，0），A（0，6），

∴OB＝8，OA＝6，∴AB＝10，

∴＝＝，∠PAQ＝∠BAO，

∴△APQ∽△ABO；

（2）如图：

过点Q作QE⊥OA于点E，

在Rt△AOB和Rt△AQE中，

sin∠BAO＝＝，sin∠QAE＝＝，

∴＝，

∴QE＝t，

∴S△APQ＝APQE＝16，

即×t×t＝16

∴t＝2．

答：那么2秒时，△APQ的面积为16．

（3）如图：

设点Q的速度为每秒x个单位长度，

当t＝4时，AP＝4，AQ＝4x，

∵以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，

∴PQ∥OB，

∴＝，即＝，

∴PQ＝，

∴H（，6）．

设点Q的速度为每秒x个单位长度，

当t＝4时，AP＝4，AQ＝4x，

∵以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，

当AP为矩形对角线时，

＝

解得x＝

∴Q′C＝＝．

∴H（﹣，4）．

所以点H的坐标为：（，6）．（﹣，4）．