如图.点O.P.Q分别是△ABC三边的中点.分别以AP.AQ为一边向形外作正n边形.如:正三角形APD.正三角形AQE,正方形APDF.正方形AQEG,正五边形APDHF.正五边形AQEIG,正六边形APDHJF.正六边形AQEIKG,-连接DO.EO.PO.QO．(1)四边形APOQ是何种特殊四边形?请任选一图给出证明,(2)如图2.图3.图4.设∠FAG=α．若四边形APOQ是矩� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．如图，点O、P、Q分别是△ABC三边的中点，分别以AP、AQ为一边向形外作正n边形，如：正三角形APD，正三角形AQE；正方形APDF，正方形AQEG；正五边形APDHF，正五边形AQEIG；正六边形APDHJF，正六边形AQEIKG；…连接DO，EO，PO，QO．
（1）四边形APOQ是何种特殊四边形？请任选一图给出证明；
（2）如图2，图3，图4，设∠FAG=α．若四边形APOQ是矩形，请直接写出各图中的α值；
（3）如图1，请探究线段DO与EO的数量关系及∠DOE的度数，并说明理由；
（4）在（3）的基础上，请猜想：正n边形中线段DO与EO的数量关系及∠DOE的度数．（不必说明理由）

分析（1）结论：四边形APOQ是平行四边形；根据三角形中位线定理即可证明．
（2）在三个图中，根据∠FAG=360°-∠BAC-∠FAP-∠GAQ计算即可．
（3）如图1，结论：DO=EO；∠DOE=60°．只要证明△DPO≌△OQE，推出OD=OE，∠PDO=∠QOE，∠POD=∠QEO，由∠PDO+∠POD+∠DPO=180°，
推出∠QOE+∠POD+120°+∠OPM=180°，推出∠QOE+∠POD+∠POQ=60°，由此即可证明．
（4）探究规律后发现DO=EO，∠DOE=$180°-\frac{360°}{n}$．

解答解：（1）结论：四边形APOQ是平行四边形；
理由：如图1中，

∵BP=PA，BO=OC，
∴PO∥AC，
∵AQ=QC，OC=OB，
∴OQ∥BA，
∴四边形APOQ是平行四边形．

（2）图2中，∵∠BAC=∠FAP=∠GAQ=90°，∴α=90°；
图3中，∵∠BAC=90°，∠FAP=∠GAQ=108°，∴α=360°-90°-2×108°=54°；
图4中，∵∠BAC=90°，∠FAP=∠GAQ=120°，∴α=360°-90°-2×120°=30°；

（3）如图1，结论：DO=EO；∠DOE=60°．
理由：∵△ADP，△AQE是等边三角形，
∴DP=AP，AQ=EQ，∠APD=∠AQE=60°，
∴∠DPM=∠EQN=120°，
∵四边形APOQ是平行四边形，
∴AP=OQ，AQ=OP，AP∥OQ，OP∥AQ，
∴PD=OQ，OP=EQ，∠OPB=∠BAC=∠CQO=∠POQ，
∵∠DPO=∠DPM+∠BPO，∠EQO=∠EQN+∠CQO，
∴∠DPO=∠EQO，
在△DPO和△OQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=OQ}\\{∠DPO=∠EQO}\\{OP=EQ}\end{array}\right.$，
∴△DPO≌△OQE，
∴OD=OE，∠PDO=∠QOE，∠POD=∠QEO，
∵∠PDO+∠POD+∠DPO=180°，
∴∠QOE+∠POD+120°+∠OPM=180°，
∴∠QOE+∠POD+∠POQ=60°，
∴∠DOE=60°

（4）正n边形中，DO=EO，∠DOE=$180°-\frac{360°}{n}$．

点评本题考查四边形综合题、正多边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，属于中考压轴题．

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