Question

11．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点．
（1）求∠BCD的度数；
（2）点P为抛物线上一点，且△PAC是直角三角形，点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线y=-x²+2x+3求出抛物线与x轴交点A、B两点坐标，与y轴交点C，以及抛物线的顶点D的坐标，再根据直角坐标系中两点间距离公式求出△BCD三边的长度，再根据勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形，从而求出∠BCD=90°；
（2）根据点P为抛物线上一动点，且△PAC是直角三角形，分情况讨论：①∠PCA=90°，根据直角坐标系中两直线垂直其斜率（k值）互为负倒数，先求出直线PC的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+3，再利用解析式联立方程组求交点坐标的方法求出点P坐标；②∠PAC=90°，方法同①；③根据题意可知∠APC≠90°．故点P的坐标有两种情况：（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（$\frac{10}{3}$，$-\frac{13}{9}$）．

解答 解：（1）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，即A（-1，0）；B（3，0）；
当x=0时，y=3，即C（0，3）；
抛物线y=-x²+2x+3的顶点坐标为D（1，4）；
∵DC=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$
BC=$\sqrt{（3-0）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{18}$
BD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=$\sqrt{20}$
∴DC²+BC²=BD²
∴∠BCD=90°；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把点A，C代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故直线AC的解析式为：y=3x+3
①若∠PCA=90°，则PC⊥AC，所以直线PC的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+3，
y=-$\frac{1}{3}$x+3与y=-x²+2x+3联立方程组得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$ （舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$
∴P（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）
②若∠PAC=90°，则PA⊥AC，所以直线PA的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+n
把点A（-1，0）代入得n=-$\frac{1}{3}$．
故y=-$\frac{1}{3}$x$-\frac{1}{3}$
y=-$\frac{1}{3}$x$-\frac{1}{3}$与y=-x²+2x+3联立方程组得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$ （舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{10}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{13}{9}}\end{array}\right.$
故P（$\frac{10}{3}$，$-\frac{13}{9}$）
③根据题意可知∠APC≠90°．
综上可知点P的坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（$\frac{10}{3}$，$-\frac{13}{9}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的图象上一些特殊点的求法即应用．第（1）问根据直角坐标系中两点间距离公式AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$求线段的长度，再利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此类问题的关键；第（2）问根据直角三角形的性质求动点坐标，若题目中没有给定直角应该分情况讨论．利用直角坐标系中两直线垂直其斜率（k值）互为负倒数的方法求直线解析式的方法要掌握，可以简化计算．