Question

16．等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A、点B分别是x轴、y轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；
（1）如图1，若A（0，2），B（4，0），D（-1，0），过点C作AC的垂线交y轴于点F，求点F的坐标；
（2）如图2，调整等腰直角△ABC位置，使点D恰为AC中点，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质和角的互余关系证出∠CAF=∠ABD，由ASA证明△ACF≌△BAD，得出AF=BD，求出OF，即可得出结果；
（2）作CF⊥AC交y轴于F，先证明△ACF≌△BAD，得到AD=CF，∠AFC=∠ADB，再证明△CDE≌△CFE，得到∠CDE=∠CFE，即可得出结论．

解答 （1）解：∵A（0，2），B（4，0），D（-1，0），
∴OA=1，OB=4，OD=1，
∵∠BAC=90°，∠AOB=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABD=90°，
∴∠CAF=∠ABD，
∵CF⊥AC，
∴∠ACF=90°=∠BAD，
在△ACF和△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠ABD}&{\;}\\{AC=BA}&{\;}\\{∠ACF=∠BAD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BAD（ASA），
∴AF=BD=OD+OB=1+4=5，
∴OF=AF-OA=5-2=3，
∴点F的坐标为（0，-3）；
（2）证明：作CF⊥AC交y轴于F，如图所示：
由（1）可得∠CAF=∠ABD，
在△ACF和△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠ABD}&{\;}\\{AC=BA}&{\;}\\{∠ACF=∠BAD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BAD（ASA），
∴AD=CF，∠AFC=∠ADB，
∵点D为AC中点，
∴AD=CD，
∴CD=CF，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCE=45°，
在△CDE和△CFFE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}&{\;}\\{∠DCE=∠FCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CFE（SAS），
∴∠CDE=∠AFC，
∴∠ADB=∠CDE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．