Question

4．已知抛物线y=-x²+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A，直线AC的解析式为y=-x+n．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作CD的平行线交AC于点E，设点P的横坐标为m，点E的横
坐标为t，求t与m的函数关系式（并直接写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当△PCE是以CP为腰的等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入抛物线的解析式得y=3，从而得到C（0，3），将点C的坐标代入y=-x+n得到：n=3，于是可求得y=-x+3，令y=0得到-x+3=0，解得x=3，故此可知A（3，0），将点A的坐标代入抛物线的解析式求得b=2，可得到抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）如图1所示：令y=0可求得点D的坐标为（-1，0），依据待定系数法可求得直线DC的解析式为y=3x+3，由PE∥DC可知直线PE的一次项系数为3，设直线PE的解析式为y=3x+b₁．由E在AC上可知点E的坐标为（t，-t+3），将点E的坐标代入y=3x+b₁可求得：b₁=3-4t，于是可求得直线PE的解析式为y=3x+3-4t，将x=m代入直线的解析式得：y=3m+3-4t，将x=m代入抛物线的解析式得：y=-m²+2m+3．于是可得到-m²+2m+3=3m+3-4t，从而可得到t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$；
（3）如图2所示：点E的坐标为（t，-t+3），点P的坐标为（m，3m+3-4t）．①当PC=PE时．由两点间的距离公式可知m²+（3m-4t）²=（m-t）²+（3m-3t）²．整理得：m=$\frac{3}{2}$5t．将m=$\frac{3}{2}$t代入t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$可求得t=$\frac{10}{9}$；②当PC=EC时．由两点间的距离公式可知：m²+（3m-4t）²=t²+（-t+3-3）²．从而可求得m=$\frac{7}{5}t$，将m=$\frac{7}{5}t$代入t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$可求得t=$\frac{65}{49}$．

解答 解：（1）∵y=-x²+bx+3与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵将点C的坐标代入y=-x+n得到：n=3，
∴直线AC的解析式为y=-x+3．
∵将y=0代入得：-x+3=0，解得x=3，
∴点A的坐标为（3，0）．
将点A的坐标代入抛物线的解析式得：-9+3b+3=0．
解得：b=2．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）如图1所示：

∵令y=0得：-x²+2x+3=0．解得：x₁=-1，x₂=3，
∴点D的坐标为（-1，0）．
设直线DC的解析式为y=kx+b，将点D、C的解析式代入$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直线DC的解析式为y=3x+3．
∵PE∥DC，
∴直线PE的一次项系数为3．
∵点E的横坐标为t，点E在直线AC上，
∴点E的纵坐标为-t+3．
∴点E的坐标为（t，-t+3）
设直线PE的解析式为y=3x+b₁．将点E的坐标代入直线的解析式得：3t+b₁=-t+3．
解得：b₁=3-4t．
∴直线PE的解析式为y=3x+3-4t．
将x=m代入直线的解析式得：y=3m+3-4t，将x=m代入抛物线的解析式得：y=-m²+2m+3．
∴-m²+2m+3=3m+3-4t．
整理得：t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$（0＜m＜3）．
（3）如图2所示：
①当PC=PE时．

由（2）可知点E的坐标为（t，-t+3），点P的坐标为（m，3m+3-4t）．
∵PC=PE，
∴m²+（3m-4t）²=（m-t）²+（3m-3t）²．整理得：m=$\frac{3}{2}$5t．
将m=$\frac{3}{2}$t代入t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$得；t=$\frac{1}{4}×（\frac{3}{2}t）^{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{3}{2}t$，整理得：$\frac{9}{16}{t}^{2}-\frac{5}{8}t=0$．
解得：t₁=$\frac{10}{9}$，t₂=0（舍去）．
②当PC=EC时．
由两点间的距离公式可知：m²+（3m-4t）²=t²+（-t+3-3）²．整理得：5m²-12mt+7t²=0．
∴（m-t）（5m-7t）=0．
∵m≠t，
∴5m=7t，即m=$\frac{7}{5}t$
将m=$\frac{7}{5}t$代入t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$得；t=$\frac{1}{4}×（\frac{7}{5}t）^{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{7}{5}t$，整理得：$\frac{49}{100}{t}^{2}-\frac{13}{20}t$=0．
解得：t₁=$\frac{65}{49}$，t₂=0（舍去）．
综上所述，t的值为$\frac{10}{9}$或$\frac{65}{49}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，、两点间的距离公式，求得点E和点P的坐标，并利用两点间的距离公式列出t与m的方程是解题的关键．