如图.在平面直角坐标系xOy中.A.B为x轴上两点.C.D为y轴上的两点.经过点A.C.B的抛物线的一部分C1与经过点A.D.B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线.我们把这条封闭曲线成为“蛋线．已知点C的坐标为.点M是抛物线C2:y=mx2-2mx-3m的顶点．(1)求A.B两点的坐标,(2)当△BDM为以∠M为直角的直角三角形时.求m的值．(3)“� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C₁与经过点A、D、B的抛物线的一部分C₂组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，-$\frac{3}{2}$），点M是抛物线C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当△BDM为以∠M为直角的直角三角形时，求m的值．
（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

分析（1）将y=mx²-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先表示出DM²，BD²，MB²，再利用DM²+MB²=BD²，即可求得m的值；
（3）先用待定系数法得到抛物线C₁的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值．

解答解：（1）由题意可得：y=mx²-2mx-3m=m（x-3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y=0时，0=m（x-3）（x+1），
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）如图1，
∵y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
∴顶点M坐标（1，-4m），
当x=0时，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM²=（0-1）²+（-3m+4m）²=m²+1，
MB²=（3-1）²+（0+4m）²=16m²+4，
BD²=（3-0）²+（0+3m）²=9m²+9，
当△BDM为Rt△，∠M为直角的直角三角形时，有：DM²+MB²=BD²．
DM²+MB²=BD²时有：m²+1+16m²+4=9m²+9，
解得m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去）．
故m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，△BDM为以∠M为直角的直角三角形；

（3）设C₁：y=ax²+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
故C₁：y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．
如图2：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
设P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$），则Q（x，$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$），
PQ=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
S_△PBC=S_△PCQ+S_△PBQ=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）×3=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{16}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，S_△PBC有最大值，Smax=$\frac{27}{16}$，
则$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{15}{8}$，
故P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{8}$）．

点评此题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式、三角形的面积公式、配方法的应用、勾股定理等知识，正确利用勾股定理是解题关键．

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