Question

13．如图，已知c＞0，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（x₂＞x₁），与y轴交于点C．
（1）若x₂=1，BC=$\sqrt{5}$，求函数y=x²+bx+c的最小值；
（2）若$\frac{OC}{OA}$=2，求抛物线y=-x²+bx+c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知B（1，0），在Rt△BCO中，由勾股定理可求得OC=2，从而得到点C的坐标为（0，2），把点B和点C的坐标代入可求得抛物线的解析式；
（2）由$\frac{OC}{OA}$=2可知：A（-$\frac{1}{2}c$，0），把点A的坐标代入抛物线的解析式得到-$\frac{1}{4}$c²-$\frac{1}{2}$c+c=0，从而可求得c=2，将c=2代入得到y=-x²+bx+2，由抛物线的顶点坐标公式可知x=$\frac{b}{2}$，y=2+$\frac{1}{4}{b}^{2}$，然后消去字母b，从而得到y与x之间的函数关系式．

解答 解：（1）∵B（x₂，0），x₂=1，
∴点B的坐标为（1，0），
∴OB=1，
∵BC=$\sqrt{5}$，
∴OC²+OB²=（$\sqrt{5}$）²，
∴OC=2，
∴点C的坐标为（0，2），
把C（0，2），B（1，0）代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-1+b+c=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为线y=-x²-x+2，
∴y=x²+bx+c=x²-x+2=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}$，
即函数y=x²+bx+c的最小值是$\frac{7}{4}$；
（2）∵$\frac{OC}{OA}$=2，
∴OA=$\frac{1}{2}$c，则A（-$\frac{1}{2}$c，0），
把A（-$\frac{1}{2}$c，0）代入y=-x²+bx+c得-$\frac{1}{4}$c²-$\frac{1}{2}$c+c=0．
解得：c₁=2，c₂=0（舍去）．
将c=2代入抛物线的解析式得：y=-x²+bx+2．
由抛物线的顶点坐标公式可知：x=$\frac{b}{2}$，y=2+$\frac{1}{4}{b}^{2}$．
由x=$\frac{b}{2}$得b=2x，将b=2x代入y=2+$\frac{1}{4}{b}^{2}$得；y=2+$\frac{1}{4}$×4x²，整理得：y=2+x²（x＞0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、配方法求二次函数的最值、二次函数的顶点坐标公式，由抛物线的顶点坐标公式得到x=$\frac{b}{2}$，y=2+$\frac{1}{4}{b}^{2}$是解题的关键．