Question

1．如图，已知抛物线y=-x²+px+q的对称轴为直线x=-3，过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（-1，1）．若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（　　）

• A． （0，2）
• B． （0，$\frac{5}{3}$）
• C． （0，$\frac{4}{3}$）
• D． （0，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线的性质，可得N，′根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得M点坐标，根据两点之间线段最短，可得MN′，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

解答 解：如图，
作N点关于y轴的对称点N′，
连接MN′交y轴于P点，
将N点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{p}{-2}=-3}\\{-1-p+q=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-6}\\{q=-4}\end{array}\right.$，
y=-x²-6x-4=-（x+3）²+5，
M（-3，5）．
N点关于y轴的对称点N′（1，1），
设MN′的解析式为y=kx+b，
将M、N′代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{-3k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
MN′的解析式为y=-x+2，
当x=0时，y=2，即P（0，2），
故选：A．

点评 本题考查了二次函数的性质，利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短得出P点的坐标是解题关键．