Question

13．如图，点A₁、A₂、A₃、…、An在抛物线y=x²图象上，点B₁、B₂、B₃、…、B_n在y轴上，若△A₁B₀B₁、△A₂B₁B₂、…、△A_nB_n-1B_n都为等腰直角三角形（点B₀是坐标原点），则△A₂₀₁₅B₂₀₁₄B₂₀₁₅的腰长=2015$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果．

解答 解：作A₁C⊥y轴，A₂E⊥y轴，垂足分别为C、E．
∵△A₁B₀B₁、△A₂B₁B₂都是等腰直角三角形，
∴B₁C=B₀C=DB₀=A₁D，B₂E=B₁E．
设A₁（a，b），则a=b，将其代入解析式y=x²得：
∴a=a²，
解得：a=0（不符合题意）或a=1，
由勾股定理得：A₁B₀=$\sqrt{2}$，
∴B₁B₀=2，
过B₁作B₁N⊥A₂F，设点A（x₂，y₂），
可得A₂N=y₂-2，B₁N=x₂=y₂-2，
又点A₂在抛物线上，所以y₂=x₂²，
（x₂+2）=x₂²，
解得x₂=2，x₂=-1（不合题意舍去），
∴A₂B₁=2$\sqrt{2}$，
同理可得：
A₃B₂=3$\sqrt{2}$，
A₄B₃=4$\sqrt{2}$，
  …
∴A₂₀₁₅B₂₀₁₄=2015$\sqrt{2}$，
∴△A₂₀₁₅B₂₀₁₄B₂₀₁₅的腰长为：2015$\sqrt{2}$．
故答案为2015$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了在函数图象中利用点的坐标与图形的关系求线段的长度，涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，抛物线的解析式的运用等多个知识点．