Question

18．如图，在矩形ABCO中，A点在y轴上，C点在x轴上，A点坐标是（0，4），C点坐标是（8，0），对角线AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，交OC于点F．
（1）直接写出AB的长度；
（2）求直线EF的函数解析式；
（3）若点M在直线EF上，则平面内是否存在点N，使得四边形ODMN是菱形？若存在，清求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AB=OC，由于A点坐标是（0，4），C点坐标是（8，0），即可求得结果；
（2）直线DE是AC的中垂线，利用待定系数法以及互相垂直的两直线的关系即可求得DE的解析式；
（3）当四边形ODMN是菱形时，OD=DM，求得OD²=4²+2²=20，由点M在直线EF上，设：M（a，2a-6），根据OD²=DM²，得到20=（a-4）²+[2-（2a-6）]²，求出M₁（2，-2），M₂（6，6），当M点的坐标为M₁（2，-2）时，O（0，0）D（4，2），N₁（b，d），由OM的中点与DN₁的中点重合，列方程组即可得到结论．

解答 解：（1）∵在矩形ABCO中，
∴AB=OC，AB∥OD，
∵A点坐标是（0，4），C点坐标是（8，0），
∴B（8，4），
∴AB=8；

（2）∵EF垂直平分线AC交AC于D，
∴D为矩形AOCB的中心，
∴D（4，2），
∵EF⊥AC，
∴直线AC的斜率=-$\frac{1}{2}$，直线EF的斜率=2，
设直线EF的解析式为：y=2x+b，
∴2=4×2+b，
∴b=-6，
∴直线EF的函数解析式为：y=2x-6；

（3）当四边形ODMN是菱形时，OD=DM，∴OD²=4²+2²=20，
∵点M在直线EF上，
∴设：M（a，2a-6），
∴OD²=DM²，即：20=（a-4）²+[2-（2a-6）]²，
解得：a₁=2，a₂=6，∴M₁（2，-2），M₂（6，6），
当M点的坐标为M₁（2，-2）时，O（0，0）D（4，2），N₁（b，d），
∴OM的中点与DN₁的中点重合，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+2}{2}=\frac{4+b}{2}}\\{\frac{0-2}{2}=\frac{2+d}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{d=-4}\end{array}\right.$，
∴N₁（-2，-4），
当M点的坐标为M₂（6，6）时，
∴OM的中点与DN₂的中点重合
，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+6}{2}=\frac{4+b}{2}}\\{\frac{0+6}{2}=\frac{2+d}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴N₂（2，4），
综上所述：若点M在直线EF上，则平面内存在点N，使得四边形ODMN是菱形，清N点的坐标为N₁（-2，-4），N₂（2，4）．

点评 本题考查了矩形的性质，求一次函数的解析式，菱形的性质，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，线段中点坐标公式，本题对于N的位置的讨论是解第三问的关键．