Question

如图，直角坐标系中y=mx和（m＞0）图象的交点为A、B，BD⊥y轴于D，S_△ABD=4；直线A′B′由直线AB缓慢向下平移；
（1）求m的值；
（2）问直线A′B′向下平移多少单位时与经过B、D、A三点的抛物线刚好只有一个交点，并求出交点坐标．

Answer 1

解：（1）∵y=mx和（m＞0）图象的交点为A、B，∴，解得：x=±1，
∴A（1，m），B（-1，-m），∴S_△ABD=×m×（m+m）=4，
解得：m=4．

（2）由（1）可得A（1，4），B（-1，-4），D（0，-4），设抛物线方程为：y=ax²+bx+c，
把A（1，4），B（-1，-4），D（0，-4）分别代入解得：a=4，b=4，c=-4，
故抛物线方程为：y=4x²+4x-4，
设直线A′B′向下平移k个单位时只有一个交点，
则平移k个单位后直线A′B′的解析式为：y=4x-k，
∵抛物线与直线只有一个交点，∴4x²+4x-4=4x-k，
方程可化为：4x²+k-4=0，
∴△=0-16（k-4）=0，
∴k=4，
即直线A′B′向下平移4个单位时，直线与抛物线只有一个交点．
分析：（1）由，解出x的值，得出A，B的坐标，从而求出m的值即可．
（2）设直线A′B′向下平移k个单位时只有一个交点，即二次函数只有一个根，根据△=0即可求出k．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点及二次函数的性质，难度较大，关键是掌握二次函数与直线有一个交点时，联立方程后令△=0即可求解．