Question

4．设实数a是不等于1的正数，证明：下列三个方程（x-a）（x-a²）=x-a³，（x-a²）（x-a³）=x-a，（x-a³）（x-a）=x-a²中至少有两个方程存在实数根．

Answer 1

分析 令函数y₁=（x-a）（x-a²）-（x-a³）、y₂=（x-a²）（x-a³）-（x-a）、y₃=（x-a³）（x-a）-（x-a²），可知三个函数均为二次项系数为正的二次函数，若a＞1知1＜a＜a²＜a³，继而可得x=a²时y₂＜0、x=a³时y₃＜0，即第一、三两个方程有实数根，同理可判断0＜a＜1时方程的根的情况．

解答 解：设a＞1，1＜a＜a²＜a³，令函数
y₁=（x-a）（x-a²）-（x-a³），
y₂=（x-a²）（x-a³）-（x-a），
y₃=（x-a³）（x-a）-（x-a²），
三个函数均为二次项系数为正的二次函数，
当x=a²时，y₂=a-a²=a（1-a）＜0，
当x=a³时，y₃=a²-a³=a²（1-a）＜0，
∴方程（x-a²）（x-a³）=x-a、（x-a³）（x-a）=x-a²存在实数根；
设0＜a＜1，0＜a³＜a²＜a＜1，
当x=a时，y₁=-a+a³=a（a²-1）＜0，
当x=a时，y₃=-a+a²=a（a-1）＜0，
∴方程（x-a）（x-a²）=x-a³、（x-a³）（x-a）=x-a²存在实数根；
综上，三个方程（x-a）（x-a²）=x-a³，（x-a²）（x-a³）=x-a，（x-a³）（x-a）=x-a²中至少有两个方程存在实数根．

点评 本题主要考查方程的根的情况，将判断一元二次方程根的情况转化为判断二次函数与x轴交点情况来求是解题的关键．