Question

如图，点A、C是双曲线位于第一象限内一支上的两个点，点B、D是x轴上的两点，且△AOB和△BCD都是等边三角形，△AOB与△BCD的面积比是

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：解题方法

分析：过点A作AE⊥OB，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，设双曲线解析式为y=

k

x

，△AOB的边长为a，△BCD的边长为b，∵△AOB和△BCD都是等边三角形，∴△AOB∽△BCD，由相似三角形的性质：对应高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．可得出答案．

解答：解：过点A作AE⊥OB，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，
设双曲线解析式为y=

k

x

，△AOB的边长为a，△BCD的边长为b．
∵△AOB和△BCD都是等边三角形，
∴△AOB∽△BCD，
∴

AE

CF

=

OB

BD

=

a

b

，
∵点A、C是双曲线位于第一象限内一支上的两个点，
∴A（

a

2

，

2k

a

），C（

2a+b

2

，

2k

2a+b

），
∴AE=

2k

a

，CF=

2k

2a+b

，
∵

AE

CF

=

OB

BD

=

a

b

，
∴

2k

a

•

2a+b

2k

=

a

b

，
整理可得：a=（1+

2

）b，
∵△AOB∽△BCD，
∴

S△AOB

S△BCD

=(

OB

BD

)2=(

a

b

)2=(1+

2

)2=3+2

2

，
故

S△AOB

S△BCD

=3+2

2

．

点评：此题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质及双曲线的性质，知识点较多，综合性强，且计算较为繁琐．