Question

求m为何值时，多项式x²-y²+mx+5y-6能因式分解，并分解此多项式．

Answer 1

考点：因式分解

专题：因式分解

分析：由于x²-y²=（x+y）（x-y），因此可将多项式x²-y²+mx+5y-6分解成（x+y+a）（x-y+b），然后运用整式的运算法则将（x+y+a）（x-y+b）拆成多项式x²-y²+（a+b）x+（b-a）y+ab．由于该多项式是原多项式的恒等变形，因此各对应项的系数相同，从而得到a、b、m的三组等量关系，求出a、b、m，就可解决问题．

解答：解：∵x²-y²=（x+y）（x-y），
∴可设x²-y²+mx+5y-6=（x+y+a）（x-y+b）．
∵（x+y+a）（x-y+b）=x²-xy+bx+xy-y²+by+ax-ay+ab
=x²-y²+（a+b）x+（b-a）y+ab，
∴x²-y²+mx+5y-6=x²-y²+（a+b）x+（b-a）y+ab．
∴

a+b=m① b-a=5② ab=-6③

．
由②得b=a+5，代入③得a（a+5）=-6．
整理得：a²+5a+6=0．
解得：a₁=-2，a₂=-3．
∴当a=-2时，b=3，m=1；当a=-3时，b=2，m=-1．
∴当m=1时，x²-y²+x+5y-6=（x+y-2）（x-y+3）；
当m=-1时，x²-y²-x+5y-6=（x+y-3）（x-y+2）．

点评：本题主要考查了多项式的因式分解、多项式的恒等变形、解一元二次方程等知识，而利用多项式恒等变形后各对应项的系数相等是解决本题的关键．