Question

如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，且

OB

BC

=

1

2

．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是

1

4

；当S_△AOB=

1

4

时，求直线OA的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）可先求出OC长，并用k的代数式表示点B的坐标及OB的长，然后在△BOC中运用三角函数可求出∠OCB的度数，再运用三角函数就可解决问题．
（2）过点A作AH⊥x轴于H，由于点A在直线y=kx-1上，因此可用x的代数式表示y，进而可得到S与x的函数关系式．
（3）把S=

1

4

代入（2）中的解析式就可得到点A的横坐标，进而可得到点A的纵坐标，然后运用待定系数法就可求出直线OA的解析式．

解答：解：（1）在Rt△BOC中，
∵y_B=0，
∴kx_B-1=0．
∴x_B=

1

k

．
∴点B的坐标为（

1

k

，0），OB=

1

k

．
∵x_C=0，∴y_C=0-1=-1．
∴y_C=-1．∴OC=1．
∵sin∠OCB=

OB

BC

=

1

2

，
∴∠OCB=30°．
∴tan∠OCB=

OB

OC

=

3

3

．
∴OB=

3

3

OC．
∴

1

k

=

3

3

×1．
∴k=

3

．
∴B点坐标为（

3

3

，0），k的值为

3

．

（2）过点A作AH⊥x轴于H，如图．
则有AH=y=

3

x-1．x＞

3

3

．
∴S=

1

2

OB•AH=

1

2

×

3

3

×（

3

x-1）=

x

2

-

3

6

，（x＞

3

3

）．

（3）当S_△AOB=

1

4

时，

x

2

-

3

6

=

1

4

．
解得；x=

2 3 +3

6

．
∴y=

3

x-1=

3

×

2 3 +3

6

-1=

3

2

．
∴点A的坐标为（

2 3 +3

6

，

3

2

）．
∴当点A运动到点（

2 3 +3

6

，

3

2

）的位置时，△AOB的面积是

1

4

．
设直线OA的解析式为y=mx，
则有

2 3 +3

6

m=

3

2

．
解得：m=6-3

3

．
∴直线OA的解析式为y=（6-3

3

）x．

点评：本题主要考查了直线上点的坐标特征、特殊角的三角函数值、用待定系数法求直线的解析式、三角形的面积公式的等知识，属于中档题．