Question

【题目】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°.

（1）如图①，点D、E分别在线段AB、AC上. 请直接写出线段BD和CE的位置关系： ；

（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转到如图②的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图③，取BC的中点F，连接AF，当点D落在线段BC上时，发现AD恰好平分∠BAF，此时在线段AB上取一点H，使BH=2DF，连接HD，猜想线段HD与BC的位置关系并证明.

Answer 1

【答案】（1）BD⊥CE；（2）成立，理由见解析；（3）HD⊥BC，证明见解析；

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质解答；（2）延长延长BD、CE，交于点M，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；（3）过点D作DN⊥AB于点N，根据题意判定△NDH是等腰直角三角形，从而使问题得解.

解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形且点D、E分别在线段AB、AC上，

∴BD⊥CE；

（2）成立

证明：延长BD、CE，交于点M

∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC

即∠BAD=∠CAE

又∵AB=AC，AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ABD=∠ACE

在等腰直角△ABC中，∠ABD +∠DBC+∠ACB=90°

∴∠ACE +∠DBC+∠ACB=90°

∴在△MBC中，∠M=180°－(∠ACE +∠DBC+∠ACB)= 90°

∴BD⊥CE

（3）HD⊥BC

证明：过点D作DN⊥AB于点N.

∵AB=AC，BF=CF，

∴AF⊥BC

又∵AD平分∠BAF，且DN⊥AB

∴DN=DF

在Rt△BND中，∠B=45°

∴∠NDB=45°，NB=ND

∴NB=DF

∵BH=2DF

∴BH=2NB

而BH=NB+NH

∴NB=NH=ND

∴△NDH是等腰直角三角形，∠NDH=45°

∴∠HDB=∠NDH +∠NDB= 45°+ 45°=90°

∴HD⊥BC