Question

16．已知y=m²+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数）
（1）求a、b、c的值；
（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以$\sqrt{2}$，同时求其差再除以$\sqrt{2}$，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数，再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2012？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设m²+m+4=k²（k为非负整数），则有m²+m+4-k²=0，由m为整数知其△为完全平方数，即1-4（4-k²）=p²（p为非负整数），（2k+p）（2k-p）=15，显然2k+p＞2k-p，再分别求出a、b、c的值即可；
（2）根据题意易得（$\frac{m+n}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{m-n}{\sqrt{2}}$）²+p²=m²+n²+p²，又由3²+（-4）²+（-1）²≠2012，即可证得结论．

解答 解：（1）设m²+m+4=k²（k为非负整数），则有m²+m+4-k²=0，
由m为整数知其△为完全平方数，即1-4（4-k²）=p²（p为非负整数），（2k+p）（2k-p）=15，显然2k+p＞2k-p，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+p=15}\\{2k-p=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2k+p=5}\\{2kp=3}\end{array}\right.$，
解得：p=7或p=1，
∴m=$\frac{-1±p}{2}$，
∴m₁=3，m₂=-4，m₃=0，m₄=-1，
∴a=3，b=-4，c=-1．

（2）三个数，任意两个求其和，再除以$\sqrt{2}$，同求其差，再除以$\sqrt{2}$，剩下的一个数不变，经过两次这样的操作就又变成原来的三个数了，
即（$\frac{m+n}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{m-n}{\sqrt{2}}$）²+p²=m²+n²+p²，
∵3²+（-4）²+（-1）²≠2012．
∴对a、b、c进行若干次操作后，不能使所得三个数的平方和等于2012．

点评 本题考查了对完全平方数的理解．拓展应用是解此题的关键，注意要打破思维常规进行分析．