Question

1．二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，4），且与直线y=-$\frac{1}{2}$x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（-3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为P，交AB于点M，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函数解析式求出A、B的坐标，然后把（-1，4），A（0，1），B（-3，$\frac{5}{2}$）分别代入y=ax²+bx+c得到a、b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）利用函数图象上点的坐标特征，设N（x，-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1），则M（x，-$\frac{1}{2}$x+1），然后用x表示出MN，再利用二次函数的性质求MN的最大值．

解答 解：（1）当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x+1=1，则A（0，1），
当x=-3时，y=-$\frac{1}{2}$x+1=$\frac{5}{2}$，则B（-3，$\frac{5}{2}$），
把（-1，4），A（0，1），B（-3，$\frac{5}{2}$）分别代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{c=1}\\{9a-3b+c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{5}{4}$，b=-$\frac{17}{4}$，c=1，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1；
（2）设N（x，-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1），则M（x，-$\frac{1}{2}$x+1），
所以MN=-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1-（-$\frac{1}{2}$x+1）=-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x=-$\frac{5}{4}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{16}$，
当x=-$\frac{3}{2}$时，MN有最大值，最大值为$\frac{45}{16}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．