Question

8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在x轴上，其坐标为（6，0），菱形的面积为18$\sqrt{3}$
（1）写出A、C两点坐标并求出过B、C两点的直线l的函数关系式；
（2）求过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（3）P为（1）中l上动点．横坐标为m、Q、R均在l的左侧，△PQR与△AOB全等且PQ∥x轴，求△PQR与菱形OABC重叠部分的面积S与m的函数关系式；
（4）直接写出△PQR与（2）中的抛物线有两个公共点时m的取值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AC交x轴于K．根据菱形的面积公式，求出AC的长，即可求出A、C两点坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式．
（2）可以假设抛物线的解析式为y=a（x-3）²+3$\sqrt{3}$，把（0，0）代入求出a即可．
（3）分两种情形①当3＜m＜6时，重叠部分是四边形PMOR，②如图3中，当6≤m＜9时，重叠部分是△AQM．分别求解即可．
（4）如图4中，只要求出图中M、N两点坐标即可根据图象解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接AC交x轴于K．

∵四边形ABCD是菱形，面积为18$\sqrt{3}$，OB=6，
∴AC⊥OB，AK=KC，OK=KB，
∴$\frac{1}{2}$•OB•AC=18$\sqrt{3}$，
∴AC=6$\sqrt{3}$，
∴AK=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAK=$\frac{BK}{AK}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAK=∠OAK=30°，
∴∠OAB=60°，
∴△OAB，△OBC是等边三角形，
∴A（3，3$\sqrt{3}$），C（3，-3$\sqrt{3}$），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-3\sqrt{3}}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\sqrt{3}$x-6$\sqrt{3}$．

（2）∵抛物线的顶点为（3，3$\sqrt{3}$），
∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x-3）²+3$\sqrt{3}$，把（0，0）代入得到a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）²+3$\sqrt{3}$，
即y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+2$\sqrt{3}$x．

（3）如图2中，∵△AOB是等边三角形，△PQR≌△BOA，PQ∥OB，
∴∠CPM=∠OBC=60°，∠ABC=∠RPC=120°，
∴AB∥PR，PQ∥BC，R、Q在直线OA上，
①当3＜m＜6时，重叠部分是四边形PMOR，

∴S=S_△PQR-S_△OMQ=9$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（12-2m）²=-$\sqrt{3}$m²+12$\sqrt{3}$m-27$\sqrt{3}$．
②如图3中，当6≤m＜9时，重叠部分是△AQM．

S=S_△AQM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$QM²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（18-2m）²=$\sqrt{3}$m²-18$\sqrt{3}$m+81$\sqrt{3}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}{m}^{2}+12\sqrt{3}m-27\sqrt{3}}&{（3＜m＜6）}\\{\sqrt{3}{m}^{2}-18\sqrt{3}m+81\sqrt{3}}&{（6≤m＜9）}\end{array}\right.$．

（4）如图4中，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-6\sqrt{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+2\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-9\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC与抛物线的交点M坐标为（-3，-9$\sqrt{3}$）．
观察图象可知，当△PQR与（2）中的抛物线有两个公共点时m的取值：-3＜m＜9．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论，需要一定的画图能力，属于中考压轴题．