Question

8．已知△ABC的中线AD、BE交于点G，求证：S_△ABG=S_{四边形CEGD}．

Answer 1

分析 根据三角形的中线的性质和重心的性质分别求出S_△ABG和S_{四边形CEGD}即可．

解答 解：设△ABC的面积为x，
∵AD、BE是△ABC的中线，
∴△ABD的面积为$\frac{1}{2}$x，
∵DG：AG=EG：BG=1：2，
∴△ABG的面积为$\frac{1}{2}$x×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$x，△BGD的面积为$\frac{1}{2}$x×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$x，△AGE的面积为$\frac{1}{2}$x×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$x，
∴四边形CEGD的面积为x-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{6}$x-$\frac{1}{6}$x=$\frac{1}{3}$x，
∴S_△ABG=S_{四边形CEGD}．

点评 本题考查的是三角形重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．