Question

【题目】四边形ABCD中，E是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），连接DE，过点E作EP⊥DE．

（1）如图1，当四边形ABCD是正方形时，点A关于直线DE的对称点为点F，连接EF并延长交BC于点G；射线DG交EP于点H，连接BH．

①求证：GF＝GC

②请求出的值；

（2）如图2，四边形ABCD是矩形，且AD＝kAB，点H是射线EP上的一点，连接BH，当DE＝kEH时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②；（2）．

【解析】

（1）①如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，即可得出结论；

②如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角的性质得：EM＝ AE，即可得出结论；

（2）先构建AM＝kAE，进而得出 ＝k，即可得出，进而判断出△MDE∽△BEH，得出 ＝k，再判断出ME＝ AE，即可得出结论．

证明：（1）①如图1，连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，

∵点A关于直线DE的对称点为F，

∴△ADE≌△FDE，

∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，

∴∠DFG＝90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

∵ ，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），

∴GF＝GC；

②如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，

∵AD＝AB，

∴DM＝BE，

由①知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵∠ADC＝90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，

∴2∠2+2∠3＝90°，

∴∠2+∠3＝45°，

即∠EDG＝45°，

∵EH⊥DE，

∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，

∴∠1＝∠BEH，

在△DME和△EBH中，

∵ ，

∴△DME≌△EBH（SAS），

∴EM＝BH，

Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，

∴EM＝AE，

∴BH＝AE，

∴＝；

（2）如图3，

在AD上截取AM，使AM＝kAE，

∵AD＝kAB，

∴DM＝AD﹣AM＝kAB﹣kAE＝k（AB﹣AE）＝kBE，

∴＝k

∵DE＝kEH，

∴＝k，

∴，

同①的方法得，∠MDE＝∠BEH，

∴△MDE∽△BEH，

∴ ＝k，

在Rt△EAM中，ME＝，

∴，

∴＝．