Question

【题目】已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上． SA'>”不对，理由为：根据规则：每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分．

（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：尺规作图如图1所示：

（2）

解：①如图2，∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠D，

∴∠CAD=∠D，

∴AC∥OD，

∴∠ACB=∠OFB，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠OFB=90°，

∴OD⊥BC；

②∵AC∥OD，

∴，即，

∴OF=2，

∵FD=5﹣2=3，

在RT△OFB中，BF=，

∵OD⊥BC，

∴CF=BF=，

∵AC∥OD，

∴△EFD∽△ECA，

∴，

∴，

∴EF=CF=×=．

【解析】（1）按照作角平分线的方法作出即可；
（2）①先求得AC∥OD，然后根据圆周角定理求得∠ACB=90°，即可证得；②根据勾股定理求得BF，即CF的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得，即可求得，继而求得EF的长．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．