Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）若∠BAC＝90°，①试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；

②若AB＝8，BD＝5，直接写出线段AG的长　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①四边形ADCF是菱形；详见解析；②2

【解析】

（1）由平行线证明三角形全等所缺少的条件，再根据三角形全等的判定方法证明三角形全等；

（2）①先证四边形ADCF是平行四边形，再证明邻边相等，便可得出结论；

②证明△AFG∽△CBG，得出AG与AC的比例关系，进而由直角三角形的性质求得AC，便可得AG．

（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB(AAS)；

（2）①四边形ADCF是菱形，

理由如下：∵△AEF≌△DEB，

∴AF＝BD，

∵BD＝DC，

∴AF＝DC＝BC，

又AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，

∴AD＝DC，

∴四边形ADCF是菱形；

②∵AF∥BC，

∴△AFG∽△CBG，

∴

∴

∴AG＝，

∵BD＝5，AD是BC边上的中线，

∴BC＝2BD＝10，

∵∠BAC＝90°，AB＝8，

∴AC＝，

∴AG＝＝2，

故答案为2．