Question

【题目】如图，是的直径，，垂足为点，连接、，点是延长线上的一点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

(1) 连结OC ，根据AB是⊙O的直径得到，再证明，根据CF经过半径OC的外端得到FC是⊙O的切线；

(2)先得到∠ACE+∠BAC＝90°，根据三角函数得到EC的长度，再根据勾股定理求出圆的半径等于8，再证明△AOC为等边三角形，利用含30°的直角三角形的性质得到FC的长度；

（1）证明：连结OC，

∵AB是⊙O的直径

∴

∵OB=OC

∴∠B=∠OCB

∴

∵∠FCO=∠B

∴

即

又∵CF经过半径OC的外端

∴FC是⊙O的切线．

（2）AB⊥CD

∴，

∴∠ACE+∠BAC＝90°，

又在RtABC中，∠B+∠BAC=90°

∴∠ACE=∠B＝30°

∴，

设OA=OC=r

即，

解得r=8

∴OE=r-4=8-4=4=AE

又∵CE⊥OA

∴CA=CO=8

∴△AOC为等边三角形，

∴∠FOC=60°，

∴∠F=30°，

在Rt△FOC中，

∵∠OCF=90°，OC=8，∠F=30°，

∴OF=2OC=16

∴；