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【题目】2019潮阳区校级月考)已知:二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于AB两点,其中A点坐标为(30),与y轴交于点C,点D(2,﹣3)在抛物线上.

1)求抛物线的解析式;

2)抛物线的对称轴上有一动点P,求△PAD周长的最小值;

3)抛物线的对称轴上有一动点M,当△MAD是等腰三角形时,直接写出M点坐标.

【答案】1yx2+2x3;(23;(3)点M坐标为:(1,﹣1)(1)(1)(10)

【解析】

1)将点AD的坐标代入抛物线表达式,即可求解;

2)点A关于函数对称轴的对称点为点B,连接PD交函数对称轴与点P,则点P为所求点,即可求解;

3)分AMDMAMADDMAD三种情况,分别求解即可.

1)将点AD的坐标代入抛物线表达式得:,解得:

抛物线的表达式为:yx2+2x3

2yx2+2x3,令y0,则x=﹣31,令x0,则y=﹣3

故点BC的坐标分别为:(10)、(0,﹣3);

函数的对称轴为:x=﹣1

A关于函数对称轴的对称点为点B,连接PD交函数对称轴与点P,则点P为所求点,

将点DB的坐标代入一次函数表达式:ykx+b得:,解得:

BD的函数表达式为:yx1

x=﹣1时,y=﹣2,即点P(﹣1,﹣2),

PAD周长的最小值=PA+PD+ADBD+AD3

3)设点M(﹣1m),点AD的坐标分别为:(﹣30)、(﹣2,﹣3),

AM24+m2DM21+m+32AD21+910

AMDM时,4+m21+m+32,解得:m=﹣1

AMAD时,同理可得:m

DMAD时,同理可得:m0或﹣6(舍去﹣6);

综上,点M坐标为:(﹣1,﹣1)或(﹣1)或(﹣1)或(﹣10).

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