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【题目】如图,在正方形ABCD中,EBC边上的一点,以E为圆心,EC为半径的半圆与以A为圆心AB为半径的圆弧相外切于点F,若AB4

(1)求半圆E的半径r的长;

(2)求四边形ADCE的面积;

(3)连接DBDF,设∠BDFαAECβ,求证:β90°

【答案】(1)1(2)10(3)证明见解析

【解析】分析:

1)根据正方形的性质求出ABAEBE的长,在Rt△ABE中根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可

2)根据梯形的面积公式求出即可;

3)根据三角形的外角性质求出β=BAE+90°,根据圆周角定理得出∠BDF=BAE,代入求出即可.

本题解析:

(1)Rt△ABE中,AB=BC=AF=AD=DC=4

BE=BCCE=4rAE=BF+EF=4+r

∵AE=AB+BE

∴(4+r)=4+(4r)

解得:r=1

答:半E的半径r的长是1.

(2)梯形ADCE的面积是S=DC(AD+CE)= ×4×(4+1)=10

答:四边形ADCE的面积是10.

(3)证明:∵∠AECRt△ABE的外角,

∴β=∠BAE+90°

∵∠BDF=BAE

α=BAE

即∠BAE=2α

∴β=2α+90°

即β2α=90°.

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