Question

18．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点F是BC的中点，点D、E是边BC上两个动点（不与点B、C重合），且∠DAE=60°
（1）如图（1），当DF=FE时，$\frac{BD}{DF}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{EF}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如图（2），当DF≠FE时，求证：BD•CE=4DF•FE．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AF，根据等腰三角形的性质得到AF⊥BC，BF=CF，∠BAF=∠CAF=60°，∠B=∠C=30°，∠DAF=30°，根据等腰三角形的判定得到BD=AD，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接AF，过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到DG=$\frac{1}{2}$BD，EH=$\frac{1}{2}$CE，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接AF，
∵AB=AC，点F是BC的中点，
∴AF⊥BC，BF=CF，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAF=∠CAF=60°，∠B=∠C=30°，
∵DF=EF，
∴AD=AE，∵∠DAE=60°，
∴∠DAF=30°，
∠B=∠DAF，
∴BD=AD，
∵$\frac{AD}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{1}{2}$，同理$\frac{CE}{EF}$=$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$；
（2）如图2，连接AF，过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥AC于H，
∵∠B=∠C=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$BD，EH=$\frac{1}{2}$CE，
∵∠BAF=∠EAE=60°，
∴∠GAD=∠EAF，
∵∠EGA=∠AFE=90°，
∴△ADG∽△AEF，
∴$\frac{DG}{EF}=\frac{AD}{AE}$，
即$\frac{\frac{1}{2}BD}{EF}=\frac{AD}{AE}$，
同理$\frac{DF}{\frac{1}{2}CE}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}BD}{EF}=\frac{DF}{\frac{1}{2}CE}$，
∴BD•CE=4DF•FE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．