Question

【题目】给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题： ①直线y=0是抛物线y= x2的切线；
②直线x=﹣2与抛物线y= x2 相切于点（﹣2，1）；
③若直线y=x+b与抛物线y= x2相切，则相切于点（2，1）；
④若直线y=kx﹣2与抛物线y= x2相切，则实数k= ．
其中正确命题的是（ ）
A.①②④
B.①③
C.②③
D.①③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵直线y=0是x轴，抛物线y= x2的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y= x2的切线，故本小题正确； ②∵抛物线y= x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x=﹣2与y轴平行，∴直线x=﹣2与抛物线y= x2 相交，故本小题错误；
③∵直线y=x+b与抛物线y= x2相切，∴ x2﹣x﹣b=0，∴△=（﹣1）2﹣4× b=1+b=0，解得b=﹣1．把b=﹣1代入 x2﹣x﹣b=0得x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，∴直线y=x+b与抛物线y= x2相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；
④∵直线y=kx﹣2与抛物线y= x2 相切，∴ x2=kx﹣2，即 x2﹣kx+2=0，△=k2﹣2=0，解得k=± ，故本小题错误．
故选B．
【考点精析】本题主要考查了求根公式和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．