Question

7．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，BE=2EC，点F在CD上，∠EAF=30°，求$\frac{CF}{DF}$．

Answer 1

分析 延长AF，与BC的延长线交于点G． 由已知条件BE：EC=2：1，得到BE：BC=2：3，即BE：AB=2：3 根据三角函数的定义得到tan∠BAE=$\frac{2}{3}$，tan∠GAE=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到tan∠GAB=tan（∠BAE+∠GAE）=$\frac{tan∠BAE+tan∠GAE}{1-tan∠BAE•tan∠GAE}$=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，证得BG：AB=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，于是得到结论．

解答 解：如图，延长AF，与BC的延长线交于点G．

∵BE=2EC，
∴BE：EC=2：1，
∴BE：BC=2：3，即BE：AB=2：3，
∴tan∠BAE=$\frac{2}{3}$，tan∠GAE=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠GAB=tan（∠BAE+∠GAE）=$\frac{tan∠BAE+tan∠GAE}{1-tan∠BAE•tan∠GAE}$=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，
∴BG：AB=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，
∵AD∥CG，
∴△CGF∽△ADF，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{CG}{AD}$，
∵AD=BC，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{CG}{BC}=\frac{BG-BC}{BC}=\frac{BG}{BC}-1$=$\frac{BG}{AB}-1$=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}-1=\frac{1+13\sqrt{3}}{23}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，两角和的正切值，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．