Question

15．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）分三种情况：①BC=BD时，由勾股定理列式求出AB，由平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，证出四边形AGCB是矩形，由矩形的对边相等得AG=BC=3，求出DG=2，由勾股定理列式求出CG，由平行四边形的面积列式计算即可；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．

解答 （1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠DFE}&{\;}\\{∠BEC=∠FED}&{\;}\\{CE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：分三种情况：①BC=BD=30cm时，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3{0}^{2}-1{0}^{2}}$=20$\sqrt{2}$（cm），
∴四边形BDFC的面积=30×20$\sqrt{2}$=600$\sqrt{2}$（cm²）；
②BC=CD=30时，过点C作CG⊥AF于G，如图所示：
则四边形AGCB是矩形，
∴AG=BC=30，
∴DG=AG-AD=30-10=20，
由勾股定理得，CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{3{0}^{2}-2{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
∴四边形BDFC的面积=30×10$\sqrt{5}$=300$\sqrt{5}$；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=20，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是600$\sqrt{2}$cm²或300$\sqrt{5}$cm²．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．