Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，

∴C（0，﹣5），

∴OC=5．

∵OC=5OB，

∴OB=1，

又点B在x轴的负半轴上，

∴B（﹣1，0）．

∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），

∴ ，解得 ，

∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．

（2）

解：由y=x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．

连接AC，

∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），

又S△ABC= ×4×5=10，S△ACD= ×4×4=8，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18

（3）

解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H．

∵S△ABC= ×AB×CH=10，AB=5 ，

∴CH=2 ，

在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC= ，BH= =3 ，

∴tan∠CBH= = ．

∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO= ，

∵∠BEO=∠ABC，

∴ ，得EO= ，

∴点E的坐标为（0， ）

【解析】（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．
【考点精析】认真审题，首先需要了解三角形的面积(三角形的面积=1/2×底×高)，还要掌握勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)的相关知识才是答题的关键．