Question

（2011•盘锦）如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上．若AB=6m，AD=4m，设AM的长为xm，矩形AMPQ的面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，S有最大值？请求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根据实际问题：由AM的长为x米，利用相似关系即可转化出边长AQ，从而建立函数解析式，要注意自变量的取值范围．
（2）利用（1）的结论，配方即可求解．

解答：解：（1）∵四边形AMPQ是矩形，
∴PQ=AM=x．（1分）
∵PQ∥AB，
∴△PQD∽△BAD．（3分）
∴

DQ

DA

=

PQ

BA

．
∵AB=6，AD=4，
∴DQ=

2

3

x．（4分）
∴AQ=4-

2

3

x．（5分）
∴S=AQ•AM=（4-

2

3

x）x=-

2

3

x²+4x（0＜x＜6）．（7分）
（注：不写自变量取值范围不扣分，若写错则扣1分）

（2）解法一：∵S=-

2

3

x²+4x=-

2

3

（x-3）²+6，（9分）
又∵-

2

3

＜0，
∴S有最大值．
∴当x=3时，S的最大值为6．（11分）
答：当AM的长为3米时，矩形AMPQ的面积最大；最大面积为6平方米．（12分）
解法二：∵-

2

3

＜0，
∴S有最大值．（8分）
∴当x=

4

2×(- 2 3 )

=3时，
S有最大值为-

2

3

×3²+4×3=6．（11分）
答：当AM的长为3米时，矩形AMPQ的面积最大；最大面积为6平方米．（12分）

点评：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．建立函数模型解决实际问题这类应用题的目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力．同时也要注意实际问题中自变量的取值范围．