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(2011•盘锦)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别为AD、AB的中点,连接DF、CE,DF与CE交于点H,则下列结论:①DF⊥CE;②DF=CE;③
DE
CE
=
HD
CD
;④
DE
DC
=
HD
HE
.其中正确结论的序号有
①②③
①②③
分析:利用正方形的性质和已知条件可判定Rt△DAF≌Rt△DCE,有全等可判断①②是否正确,再利用相似三角形的判定方法证明△DHE∽△DAF,由相似三角形的性质可判断③④是否正确,进而可知正确结论的序号.
解答:解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠ADC=∠DCB=90°,
∵点E、F分别为AD、AB的中点,
∴DE=AE,
∴Rt△DAF≌Rt△DCE,
∴DF=CE,故②正确;
∠DEC=∠DFA,
∵∠DFA+∠FDA=90°,
∴∠DEC+∠FDA=90°,
∴∠DHE=90°,
即DF⊥CE,故①正确;
∵∠EDH=∠FDA,
∠A=∠DHE=90°,
∴△DHE∽△DAF,
DH
AD
=
DE
DF

∵AB=BC=CD=DA,DF=CE,
DE
CE
=
HD
CD
,故③正确;
DE
DC
=
1
2
HD
HE
=
DA
AF
=
2
1

DE
DC
HD
HE
,故④不正确.
故答案为①②③.
点评:本题考查了正方形的性质:四条边相等,四个角都是直角和全等三角形的判定以及全等三角形的性质;同时还考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质;难度不大,综合性不小.是一道考查学生基本能力不错的题目.
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