Question

（2011•盘锦）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为AD、AB的中点，连接DF、CE，DF与CE交于点H，则下列结论：①DF⊥CE；②DF=CE；③

DE

CE

=

HD

CD

；④

DE

DC

=

HD

HE

．其中正确结论的序号有

①②③

．

Answer 1

分析：利用正方形的性质和已知条件可判定Rt△DAF≌Rt△DCE，有全等可判断①②是否正确，再利用相似三角形的判定方法证明△DHE∽△DAF，由相似三角形的性质可判断③④是否正确，进而可知正确结论的序号．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠ADC=∠DCB=90°，
∵点E、F分别为AD、AB的中点，
∴DE=AE，
∴Rt△DAF≌Rt△DCE，
∴DF=CE，故②正确；
∠DEC=∠DFA，
∵∠DFA+∠FDA=90°，
∴∠DEC+∠FDA=90°，
∴∠DHE=90°，
即DF⊥CE，故①正确；
∵∠EDH=∠FDA，
∠A=∠DHE=90°，
∴△DHE∽△DAF，
∵

DH

AD

=

DE

DF

，
∵AB=BC=CD=DA，DF=CE，
∴

DE

CE

=

HD

CD

，故③正确；
∵

DE

DC

=

1

2

，

HD

HE

=

DA

AF

=

2

1

，
∴

DE

DC

≠

HD

HE

，故④不正确．
故答案为①②③．

点评：本题考查了正方形的性质：四条边相等，四个角都是直角和全等三角形的判定以及全等三角形的性质；同时还考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质；难度不大，综合性不小．是一道考查学生基本能力不错的题目．