Question

（2011•盘锦）如图，直线y=

m

3

x+m（m≠0）交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B且AB=5，过点A作直线AC⊥AB交y轴于点C．点E从坐标原点O出发，以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上运动；与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动．直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G．设点E离开坐标原点O的时间为t（t≥0）s．
（1）求直线AC的解析式；
（2）直线l在平移过程中，请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标；
（3）直线l在平移过程中，设点E到直线l的距离为d，求d与t的函数关系．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件表示出A、B的坐标，再根据AB=5得出m的值，即可求出OB的值，再根据直线AC⊥AB交y轴于点C，得出△BOA∽△AOC，从而得出CO的值，再根据点C在y轴负半轴上，得出C点的坐标，然后设直线AC解析式为y=kx+b，把A，C点代入求出解析式；
（2）根据（1）的证明直接得出△BOF为等腰三角形时点F的坐标；
（3）先分两种情况进行讨论：当0≤t≤5时，先作ED⊥FG于D，得出ED=d，得出FG∥AC，再根据AF=t，AB=5得出BF的值，即可求出BC的值，再根据BC的值求出BG的值，再根据FG⊥AB，ED⊥FG，得出∠GDE=∠GFB=90°，求出ED∥AB，即可求出d与t的函数关系；再求当t＞5时，先作ED⊥FG于D，得出ED=d，得出FG∥AC，得出B点的坐标，求出BC的值，从而得出BE，EG的值，再根据FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE=∠GFB=90°，得出ED∥AB即可求出d与t的函数关系；

解答：解：（1）∵y=

m

3

x+m交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，
∴B（0，m）、A（-3，0）．
∵AB=5，
∴m²+3²=5²，
解得m=±4．
∵m＞0，
∴m=4．
∴B（0，4）．
∴OB=4．
∵直线AC⊥AB交y轴于点C，易得△BOA∽△AOC，
∴

AO

BO

=

CO

AO

．
∴CO=

AO2

BO

=

32

4

=

9

4

．
∵点C在y轴负半轴上，
∴C（0，-

9

4

）．
设直线AC解析式为y=kx+b，
∵A（-3，0），C（0，-

9

4

），
∴

-3k+b=0 b=- 9 4

，
解得

k=- 3 4 b=- 9 4

，
∴y=-

3

4

x-

9

4

；

（2）F₁（

12

5

，

36

5

）、F₂（-

12

5

，

4

5

）、F₃．（-

3

2

，2）；

（3）分两种情况：第一种情况：当0≤t≤5时，
如图，作ED⊥FG于D，则ED=d．
由题意，FG∥AC，
∴

BF

BA

=

BG

BC

，
∵AF=t，AB=5，
∴BF=5-t．
∵B（0，4），
∴BC=4+

9

4

=

25

4

．
∴

5-t

5

=

BG

25 4

．
∴BG=

5

4

（5-t）．
∵OE=0.8t，OB=4，
∴BE=4-0.8t．
∴EG=

5

4

（5-t）-（4-0.8t）=

9

4

-

9

20

t．
∵FG⊥AB，ED⊥FG，
∴∠GDE=∠GFB=90°．
∴ED∥AB．
∴

EG

BG

=

ED

BF

．
∴

9 4 - 9 20 t

5 4 (5-t)

=

d

5-t

．
∴d=-

9

25

t+

9

5

．
第二种情况：当t＞5时，
如图（2），
作ED⊥FG于D，则ED=d，
则题意，FG∥AC，
∴

BF

BA

=

BG

BC

．
∵AF=t，AB=5，
∴BF=t-5．
∵B（0，4），C（0，-

9

4

），
∴BC=4+

9

4

=

25

4

．
∴

t-5

5

=

BG

25 4

．
∴BG=

5

4

（t-5）．
∵OE=0.8t，OB=4，
∴BE=0.8t-4，EG=

5

4

（t-5）-（0.8t-4），
=

9

20

t-

9

4

．
∵FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE=∠GFB=90°，
∴ED∥AB．
∴

EG

BG

=

ED

BF

．
∴

9 20 t- 9 4

5 4 (t-5)

=

d

t-5

．
∴d=

9

25

t-

9

5

．

点评：此题考查了一次函数的综合；解题的关键是求出各点的坐标，再用各点的坐标求出解析式，注意（3）中分两种情况进行讨论，不要漏掉．