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    7．设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．

    （1）阅读填空
    如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFFH与ABCD等积．
    理由：连接AH，EH．
    ∵AE为直径∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠HEA=90°．
    ∵DH⊥AE∴∠ADH=∠EDH=90°
    ∴∠HAD+∠AHD=90°
    ∴∠AHD=∠HED∴△ADH∽△HDE．
    ∴$\frac{AD}{DH}=\frac{DH}{DE}$，即DH2=AD×DE．
    又∵DE=DC∴DH2=AD×DC．即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
    （2）类比思考
    平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
    （3）解决问题
    三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形（填写图形各称），再转化为等积的正方形．
    如图②，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助作出与△ABC等积的正方形的一条边．
    （不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）
    （4）拓展探究
    n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为n-1边形，…，直至转化为等积三角形，从而可以化方．
    如图③，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助网格作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）．

    分析 （1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．
    （3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．
    （4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．

    解答 解：（1）如图①，连接AH，EH，
    ∵AE为直径，
    ∴∠AHE=90°，
    ∴∠HAE+∠HEA=90°．
    ∵DH⊥AE，
    ∴∠ADH=∠EDH=90°，
    ∴∠HAD+∠AHD=90°，
    ∴∠AHD=∠HED，
    ∴△ADH∽△HDE．
    ∴$\frac{AD}{DH}$=$\frac{DH}{DE}$，
    即DH2=AD×DE．
    又∵DE=DC，
    ∴DH2=AD×DC，
    即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

    （3）如图2，作法：
    ①过A点作AD垂直BC于D；
    ②作AD的垂直平分线，取AD中点E；
    ③过E作BC平行线，作长方形BCGF，则S矩形BCGF=S△ABC；
    其他步骤同（2）可作出其等积正方形．


    （4）如图3，作法：
    ①过A点作BD平行线l；
    ②延长CD交平行线与E点；
    ③连接BE，则S四边形ABCD=S△EBC，
    同（3）可作出其等积正方形．
    △BCE与四边形ABCD等积，理由如下：
    ∵BD∥l，
    ∴S△ABD=S△EBD，
    ∴S△BCE=S四边形ABCD，
    即△EBC与四边形ABCD等积．
    故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．

    点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
    （2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．

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