Question

20．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC，∠B=90°，点E为边AB上一点，过点A作AD∥BC，且AD=AE，连接DE，交AC于点O，求证：AC是线段ED的垂直平分线．

Answer 1

分析 首先证明△CAD≌△CAE，推出CE=CD，结合AE=AD，根据垂直平分线的定义即可判断．

解答 证明：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠BAD=90°，∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠CAD=∠CAE=45°，
在△CAE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CA}\\{∠CAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△CAE，
∴CD=CE，∵AD=AE，
∴AC是线段DE的垂直平分线．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是记住线段垂直平分线的判定方法，属于中考常考题型．