Question

x⁴+x³+x²+x+1=0，求1+x+x²+…+x²⁰⁰⁹的值．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：

分析：利用因式分解的方法得到原式=（1+x+x²+x³+x⁴）+x⁵（1+x+x²+x³+x⁴）+x¹⁰（1+x+x²+x³+x⁴）+…+x²⁰⁰⁵（1+x+x²+x³+x⁴），共分了402组，再提公因式得到（1+x+x²+x³+x⁴）（1+x⁵+x¹⁰+…+x²⁰⁰⁵），然后利用整体的方法计算．

解答：解：∵1+x+x²+…+x²⁰⁰⁹=1+x+x²+x³+x⁴+x⁵（1+x+x²+x³+x⁴）+x¹⁰（1+x+x²+x³+x⁴）+…+x²⁰⁰⁵（1+x+x²+x³+x⁴）
=（1+x+x²+x³+x⁴）（1+x⁵+x¹⁰+…+x²⁰⁰⁵），
而x⁴+x³+x²+x+1=0，
∴1+x+x²+…+x²⁰⁰⁹=0．

点评：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．