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【题目】已知抛物线轴交于A、B两点(A在B的左侧),且A、B两点的横坐标是方程-12=0的两个根.抛物线与轴的正半轴交于点C,且OC=AB.

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)求此抛物线的解析式;

(3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为,△CEF的面积为S,求S与之间的函数关系式;

(4)对于(3),试说明S是否存在最大值或最小值,若存在,请求出此值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8);

(2)抛物线的解析式为=-+8;

(3)S=- (0<<8);

(4)存在最大值; △BCE为等腰三角形.

【解析】【试题分析】(1)解方程-12=0得到=-6, =2,得A(-6,0)、B(2,0),根据OC=AB,得C(0,8),即A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8);

(2)将(1)中的三个坐标代入即可,即得解得,则所求抛物线的解析式为=-+8;

(3)依题意,AE=,则BE=8-.EF∥AC,得△BEF∽△BAC,

设BE边上的高为,由相似三角形的性质“对应高的比等于相似比”, 得:BE边上的高︰BA边上的高=BE︰BA, 即︰OC=BE︰BA,

︰8=(8-)︰8,∴=8-.如图,S=S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BEF 

×8×8-×8 =- (0<<8);

(4)存在最大值.利用配方法求二次函数的极值,即S=-=-=-+8,得当=4时,S有最大值8, 即AE=4,

∴点E的坐标为E(-2,0),∵B(2,0),∴OC⊥EB且平行EB,

即CE=CB,△BCE为等腰三角形.

【试题解析】

(1)由方程-12=0

得(+6)(-2)=0,

=-6, =2,

由题意得A(-6,0)、B(2,0).AB=6-(-2)=8,

∵OC=AB且C点在轴的正半轴上,

∴C(0,8).∴A、B、C三点的坐标分别为:

A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8);

(2)∵点C(0,8)在抛物线上,

=0时, =8,∴=8.

将A(-6,0)、B(2,0)代入

解得,∴所求抛物线的解析式为=-+8;

(3)依题意,AE=,则BE=8-

∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,

设BE边上的高为

︰OC=BE︰BA,

︰8=(8-)︰8,

=8-.如图,

S=S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BEF 

×8×8-×8

化简整理得S=- (0<<8);

(4)存在最大值.∵S=-

=-=-+8,

∵-<0,∴当=4时,S有最大值8,

最大值=8. =4,即AE=4,

∴点E的坐标为E(-2,0),

∵B(2,0),∴OC⊥EB且平行EB,

即CE=CB,

∴△BCE为等腰三角形.

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