Question

如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠A=30°，求∠ADE的度数．
（3）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A=30°，AB=8，求弦DG的长，并求四边形DFBE的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,解直角三角形

专题：

分析：（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．本题可根据等腰三角形中两底角相等，将相等的角进行适当的转换，即可证得OD⊥DE；
（2）根据∠ADO=∠A=30°，∠ODE=90°，即可求得；
（3）由∠A=30°，即可求得∠DOF=60°在直角三角形DFO中，有OD的值，根据正弦函数即可求得DG的值，连接BD，先求得△DBF≌△DBE，然后根据S_{四边形DFBE}=2S_△DFB即可求得．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：由（1）可知∠ADO=∠A=30°，∠ODE=90°，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=30°+90°=120°．

（3）解：连接BD，∵∠DOF=∠A+∠ADO=60°，
在Rt△DOF中，OD=4，
∴DF=OD•sin∠DOF=4•sin60°=2

3

．
∵直径AB⊥弦DG，
∴DF=FG．
∴DG=2DF=4

3

．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°
在Rt△DFB中
cot∠FBD=

BF

DF

，即cot60°=

BF

2 3

，
∴BF=2

3

×cot60°=2

3

×

3

3

=2，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴∠DBF=∠DBE，
在△DBF和△DBE中，

∠DBF=∠DBE ∠DFB=∠DEB=90° BD=BD

，
∴△DBF≌△DBE（AAS），
∴S_{四边形DFBE}=2S_△DFB=2×

1

2

×DF．BF
=2×

1

2

×2

3

×2
=4

3

．

点评：本题考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．