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【题目】1)如图 1 所示,△ ABC △ AEF 为等边三角形,点 E △ ABC 内部,且 E 到点 ABC 的距离分别为 345,求∠AEB 的度数.

2)如图 2,在△ ABC 中,∠CAB=90°AB=ACMN BC 上的两点,且∠MAN=45°MN2 NC2+BM2 有何关系?说明理由.

【答案】(1)150°;(2MN2=NC2+BM2.

【解析】

1)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定可知CF=BE=4,∠AEB=AFC,再由勾股定理的逆定理可知∠CFE=90°,从而可求出∠AEB

2)根据旋转的性质和全等三角形的判定可知CF=BM MN=FN,由题意可证∠FCN=90°,进而可证明MN2=NC2+BM2.

解:(1)连接 FC,如图1所示:

∵△ABC AEF 为等边三角形,

AE=AF=EF=3AB=AC,∠AFE=60°,∠BAC=EAF=60°

∴∠BAE=CAF=60°﹣∠CAE

BAE CAF 中,

∴△BAE≌△CAFSAS),

CF=BE=4,∠AEB=AFC

又∵EF=3CE=5

CE2=EF2+CF2

∴∠CFE=90°

∵∠AFE=60°

∴∠AFC=90°+60°=150°

∴∠AEB=AFC=150°

2MN2=NC2+BM2,理由如下:

ABM A 点逆时针旋转 90°,得到 AFC,如图 2 所示: AM=AFCF=BM,∠BAM=CAF,∠B=ACF

∵∠BAC=90°,∠MAN=45°

∴∠NAF=CAN+FAC=CAN+BAM=90°45°=45°=MAN

在△ MAN 和△ FAN 中,

∴△MAN≌△FANSAS),

MN=FN

∵∠BAC=90°AB=AC

∴∠B=ACB=45°

∵∠B=ACF

∴∠ACF=45°

∴∠FCN=90°

由勾股定理得:NF2=CF2+CN2

CF=BMNF=MN

MN2=NC2+BM2

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